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快速回忆倍角公式
2011/11/13

复数理论中有棣莫弗定理,它的表述是这样的:

(cosθ + i sin θ )n = cos nθ + i sin nθ ,

√i其中 = −1 ,n 是正整数。这个定理的一般形式和完整证 明,后来由欧拉给出。我们取 n= 2 , 得到

cos2θ − sin2θ + 2isin θ cosθ = cos 2θ + i sin 2θ ,

比较等式两边的实数部分和虚数部分,可得

cos 2θ = cos2θ − sin2θ , sin 2θ = 2 sin θ cosθ

这是三角学中关于余弦函数和正弦函数的倍角公式。如果取

= 3, 4, L ,可以得到更复杂的倍角公式。有了棣莫弗公式, 只要通过简单的推导,我们就可以得到这些倍角公式,而不 必去死记硬背它们。

节选自《从哥德巴赫说开去(1)》,科学松鼠会。

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